34670 - ALGEBRA SUPERIORE 2

Scheda insegnamento

Anno Accademico 2017/2018

Conoscenze e abilità da conseguire

Al termine del corso, lo studente possiede conoscenze algebriche avanzate necessarie per la comprensione di problemi nell'ambito della matematica classica e moderna ed e' in grado di utilizzarle autonomamente.

Programma/Contenuti

PREMESSA. Il corso si articola su tre moduli, tenuti dai Proff. Brini (24 ore), Bonetti (12 ore), Regonati (12 ore), che verteranno su tematiche profondamente interconnesse, seppure di interesse anche indipendente. Per comodita' di fruizione, ogni modulo sara' oggetto di esposizione autoconsistente.

 

(modulo Brini)

COMBINATORIA ALGEBRICA E TEORIA DELLE RAPPRESENTAZIONI.

Superalgebre: generalita'. Superalgebre associative e superalgebre di Lie.

Algebre supersimmetriche. Superalgebre letterplace Super[L|P].

Superderivazioni e superpolarizzazioni.  Azioni delle superalgebre di Lie generali lineari. Super[L|P] come bimodulo.

Spazi di tensori Z_2-graduati e gruppi simmetrici. Azioni classiche di Schur-Weyl ed azioni superalgebrichedi Berele-Regev- Sergeev.

Il metodo delle variabili virtuali.Operatori di tipo Capelli e loro virtualizzazione/devirtualizzazione.

Biprodotti di Grosshans-Rota-Stein. Rappresentazione virtuale e sviluppi di Laplace.

Tableaux superstandard e hook property. Straightening law e Teorema della base standard. Bitableaux simmetrizzati e serie di Gordan-Capelli superalgebrica. Simmetrizzatori di Young-Capelli e loro combinatoria. Coefficienti di simmetria e teoremi di triangolarita' . Semisemplicita'  di Super[L|P].

Teoremi di decomposizione completa e teorema del doppio commutatore.

 

(modulo Bonetti)

COMBINATORIA delle TABELLE DI YOUNG ED APPLICAZIONI.

Partizioni, diagrammi di Ferrers e tabelle di Young e loro combinatoria di base. Tabelle standard e superstandard. Legami con la combinatoria enumerativa. La corrispondenza di Robinson-Schested-Knuth. Il jeu de taquin di Schutzhemberger. Significati in teoria delle rappresentazioni. La generalizzazione superalgebrica.

(modulo Regonati)

RAPPRESENTAZIONI MATRICIALI ESPLICITE PER GRUPPI GENERALI LINEARI E SIMMETRICI.

Azione per polarizzazione delle algebre di Lie generali lineari e dei loro inviluppi universali sui polinomi negli elementi di una matrice biinfinita generica. Bitableaux come prodotti di minori della matrice, e loro analoghi negli inviluppi universali delle algebre di Lie, i Bitableaux di Capelli; straightening e standardità.

Un sistema completo di moduli irriducibili per le algebre di Lie generali lineari: i moduli di Schur; base dei bitableaux standard; elementi peso massimo. Morfismi lineari ammissibili fra moduli di Schur; teorema del Branching; basi di Gelfand-Tsetlin.
Costruzione esplicita di morfismi e basi mediante prodotti di bitableaux di Capelli ed elementi peso massimo; identità di Young virtuale. Rappresentazione matriciale di un'algebra di Lie generale lineare rispetto ad una base di Gelfand-Tsetlin di un modulo di Schur.

 

Testi/Bibliografia


A. Brini, Combinatorics, Superalgebras, Invariant theory and Representation theory, Seminaire Lotharingien de Combinatoire 55 (2007), pp. 118

Frank D. Grosshans, The work of Gian-Carlo Rota on invariant theory,  Algebra univers. 49 (2003) 213-258

C. Procesi, Lie Groups: An Approach Through Invariants and Representations, (Universitext) Springer 2006

Modalità di verifica dell'apprendimento

L'esame consiste di una prova finale orale della durata di 45 minuti. Si verifichera' la competenza dello studente sia a livello di acquisizione di metodi e concetti che di applicazione a casi concreti.

Orario di ricevimento

Consulta il sito web di Andrea Brini

Consulta il sito web di Flavio Bonetti

Consulta il sito web di Francesco Regonati