34756 - PRINCIPI DELLA MATEMATICA

Scheda insegnamento

  • Docente Piero Plazzi

  • Crediti formativi 6

  • SSD MAT/01

  • Modalità di erogazione In presenza (Convenzionale)

  • Lingua di insegnamento Italiano

  • Orario delle lezioni dal 25/09/2017 al 20/12/2017

Anno Accademico 2017/2018

Conoscenze e abilità da conseguire

Al termine del corso, lo studente ha una visione critica dell'odierno sviluppo della ricerca sui fondamenti della matematica (incompletezza dei sistemi assiomatici e indipendenza), che ormai, oltre alla tradizionale importanza per la didattica, è strettamente intrecciato con le ricerche logiche e con le problematiche legate alla teoria della computabilità, legandosi così anche allo sviluppo dell'informatica teorica.

Programma/Contenuti

0. Prerequisiti. E' fortemente raccomandata una certa conoscenza della logica degli enunciati e soprattutto di quella dei predicati, per la quale si rimanda al programma e ai testi segnalati nel mio programma di Logica Matematica (CdL triennale) .

1. Computabilità, aritmetica e teoremi di incompletezza. Computabilità intuitiva. Algoritmi: di calcolo, di decisione, di enumerazione.  Un primo approccio: le macchine di Turing. Un secondo approccio: la ricorsività. Funzioni ricorsive primitive, esempi di Ackermann e μ-ricorsività. Relazioni e insiemi ricorsivi, enumerabilità. Tesi di Church-Turing. L'aritmetica di Peano e PA. Ricorsività ed aritmetica: la gödelizzazione. Teoremi di incompletezza di Gödel e loro principali conseguenze.
2. Teoria assiomatica degli insiemi. Cenni di storia della teoria degli insiemi: le dimostrazioni di Cantor sugli insiemi numerici, la teoria intuitiva ed i suoi paradossi (Cantor, Russell). La teoria assiomatica standard: gli assiomi di ZF. Numeri ordinali e cardinali secondo von Neumann. Assiomi speciali: scelta, fondazione, 'ipotesi' del continuo. Teorie alternative: NBG ed il concetto di classe; insiemi non ben fondati, teorie nonstandard. Cenno all'indipendenza di assiomi.

Testi/Bibliografia

G. LOLLI, Introduzione alla logica formale, Bologna, Il Mulino (per i prerequisiti di logica formale).
E. MENDELSON, Introduzione alla logica matematica, Torino, Bollati Boringhieri (parti 2 e 3).
P. R. HALMOS, Teoria elementare degli insiemi, Milano, Feltrinelli (parte 3)

Sono disponibili dispense, scaricabili dal sito AMScampus.

Metodi didattici

Particolare riguardo viene riservato alla storia e alle implicazioni culturali della ricerca sui fondamenti della Matematica.

Modalità di verifica dell'apprendimento

La verifica consiste in una prova orale: mediante un colloquio basato su tre domande lo
studente dovrà dimostrare la capacità di padroneggiare e valutare criticamente i concetti fondamentali del corso.

Strumenti a supporto della didattica

Lezioni alla lavagna; dispense su tutto il programma in formato pdf disponibili su AMScampus.

Orario di ricevimento

Consulta il sito web di Piero Plazzi