77941 - EQUAZIONI DIFFERENZIALI STOCASTICHE

Scheda insegnamento

  • Docente Andrea Pascucci

  • Crediti formativi 6

  • SSD MAT/06

  • Modalità di erogazione In presenza (Convenzionale)

  • Lingua di insegnamento Italiano

  • Orario delle lezioni dal 25/09/2017 al 19/12/2017

Anno Accademico 2017/2018

Conoscenze e abilità da conseguire

Al termine del corso, lo studente conosce i fondamenti della teoria delle equazioni differenziali stocastiche e i legami con la teoria delle equazioni alle derivate parziali di tipo ellittico-parabolico (eventualmente degenere) e del prim'ordine. Sa applicare le conoscenze acquisite per risolvere, anche numericamente, vari tipi di problemi inerenti alcuni classici modelli cinetici della fisica e della teoria dei processi stocastici.

Programma/Contenuti

Per informazioni dettagliate si veda il sito

https://docs.google.com/document/d/1gz-c6oXcJh5barNGeJ5-0uqZs2O806CcZDCxNFassoU/edit?usp=sharing

Programma

Richiami di elementi di probabilità elementare: spazi di probabilità, distribuzioni, variabili aleatorie, valore atteso e indipendenza. Primo esempio sull’attesa condizionata: sigma-algebra generata da una partizione.
Esempi sull’attesa condizionata: il caso di v.a. normali; densità marginale condizionata. Esistenza e unicità dell’attesa condizionata. Dimostrazioni usando la proiezione ortogonale e cenno al Teorema di Radon-Nikodym.
Proprietà dell’attesa condizionata. Dimostrazione del primo teorema di Dynkin.
Secondo teorema di Dynkin e applicazioni. Processi stocastici discreti. Martingale e prime proprietà. Due esempi. Decomposizione di Doob.
Tempi d’arresto: esempi e prime proprietà. Processo stoppato.
Teorema di Optional sampling. Disuguaglianza massimale di Doob.
Il processo di Poisson: definizione e proprietà
Moto Browniano ed equazione del calore: proprietà di Markov, densità di transizione e soluzione fondamentale.
Unicità di processi stocastici. Legge di un processo continuo. Distribuzioni finito-dimensionali del moto Browniano. Martingale Browniane. Diseguaglianza massimale di Doob.
Spazi di mg continue. Ipotesi usuali sulle filtrazioni. Tempi d’arresto e martingale. Funzioni BV. Riemann-Stieltjes integral.
Ito formula deterministica. Variazione quadratica del moto Browniano. Integrale di Wiener. Integrale di processi semplici di L^2.
Proprietà dell’integrale stocastico: martingalità e isometria di Ito. Estensione dell’integrale a L^2. Il caso dei coefficienti deterministici. Integrale e tempi d’arresto. Variazione quadratica dell’integrale. Traiettorie BV dell’integrale stocastico.
Integrale in L^2_loc. Martingale locali.
Processi di Ito: unicità della rappresentazione e notazione differenziale. Formula di Ito per il moto Browniano. Esempi. Moto Browniano geometrico.
Formula di Ito 1dim generale. Esempi. Moto Browniano multidimensionale. Formula di Ito multidimensionale. Esempi. Equazioni differenziali stocastiche.
Esempi su Formula di Ito multidimensionale. Ipotesi standard: esistenza e unicità di soluzioni forti. Tempi di uscita. Generatore infinitesimale. Rappresentazione probabilistica della soluzione di un Problema di Dirichlet.
Esempi di rappresentazione probabilistica: problema di Dirichlet per l’operatore di Laplace; problema di Cauchy-Dirichlet per l’operatore del calore; metodo delle caratteristiche. Soluzione fondamentale e densità di transizione. Equazioni stocastiche lineari: equazione di Langevin e operatore di Kolmogorov.

Testi/Bibliografia

A. Pascucci, PDE and Martingale methods in option pricing [http://www.springer.com/mathematics/quantitative+finance/book/978-88-470-1780-1], & Series [http://www.springer.com/series/8762], 2010

http://math-finance.blogspot.com/

Metodi didattici

Lezioni frontali.

Modalità di verifica dell'apprendimento

La verifica dell'apprendimento avviene attraverso il solo esame finale che accerta l'acquisizione delle conoscenze e delle abilità attese tramite lo svolgimento di una prova orale. Viene lasciata la possibilità di scelta di almeno un argomento. Normalmente è richiesta la dimostrazione o almeno traccia della prova dei principali risultati su cui verte l'esame.

Link ad altre eventuali informazioni

https://docs.google.com/document/d/1gz-c6oXcJh5barNGeJ5-0uqZs2O806CcZDCxNFassoU/edit?usp=sharing

Orario di ricevimento

Consulta il sito web di Andrea Pascucci