81856 - GEOMETRIA 1B

Scheda insegnamento

Anno Accademico 2017/2018

Conoscenze e abilità da conseguire

Al termine del corso, lo studente ha approfondito la conoscenza dei concetti fondamentali dell'algebra lineare visti in Geometria 1A; è capace di diagonalizzare un endomorfismo e conosce la forma di Jordan. Ha inoltre incontrato le forme bilineari e quadratiche e sa applicare alla risoluzione di problemi geometrici (spazi euclidei, coniche e quadriche).

Programma/Contenuti

Riduzione a forme canoniche di endomorfismi: richiami sulla diagonalizzabilita', forma di Jordan di un endomorfismo.

Forme bilineari su un K-spazio vettoriale. Corrispondenza tra matrici e forme bilineari. Due matrici rappresentano la stessa forma se e solo se sono congruenti. Rango di una forma bilineare. Forma quadratica associata ad una forma bilineare simmetrica. Vettori e sottospazi ortogonali rispetto a una forma bilineare simmetrica. Vettori isotropi. Esistenza di basi diagonalizzanti per una forma bilineare simmetrica su un K-spazio vettoriale. Forma canonica di una forma quadratica sul campo reale (teorema di Sylvester) e sul campo complesso. Segnatura di una forma quadratica reale.

Prodotti scalari e spazi vettoriali euclidei di dimensione finita. Norma. Disuguaglianza di Schwarz. Esistenza di una base ortonormale. La proiezione ortogonale di un vettore su un sottospazio e l'identità pitagorica. Matrici ortogonali. Il gruppo ortogonale O(V) e il gruppo ortogonale speciale SO(V). Endomorfismi simmetrici. Il Teorema Spettrale.

Lo spazio affine costruito su uno spazio vettoriale V. Sottospazi affini. Riferimenti affini e coordinate. Equazioni cartesiane e parametriche di un sottospazio affine. Sottospazi affini paralleli, sghembi e incidenti.
Il gruppo delle affinità e i gruppi di trasformazioni affini (in particolare le traslazioni e le affinità che fissano un punto). Equazioni di una affinità.

Spazi euclidei. Riferimenti cartesiani. Distanza di due punti. Angolo convesso di due rette orientate. Isometrie dirette e inverse, rotazioni. Le isometrie del piano euclideo: il teorema di Chasles.

Testi/Bibliografia

E.Sernesi: Geometria 1 (Bollati Boringhieri)

le note del corso, corredate di fogli di esercizi e dei compiti d'esame degli anni precedenti, verranno messe online su:  http://www.dm.unibo.it/~ida/annoincorso.html

Metodi didattici

Lezioni frontali ed esercitazioni.

Modalità di verifica dell'apprendimento

L'esame finale consiste di una prova scritta e di una prova orale. Il compito scritto consiste in alcuni esercizi in cui si dimostra di saper utilizzare gli strumenti acquisiti durante il corso.Si è ammessi all'orale se il voto dello scritto è >=14/30. Il superamento della prova scritta  consente di sostenere l'esame orale, il quale consiste in una discussione sullo scritto e in domande volte ad accertare la conoscenza teorica dei contenuti del corso e la capacità di ragionare autonomamente su argomenti inerenti al corso.

Strumenti a supporto della didattica

Vengono messi in rete su

http://www.dm.unibo.it/~ida/annoincorso.html

fogli di esercizi e compiti d'esame degli anni precedenti, che si aggiungono a quelli reperibili nei testi consigliati.

Attraverso le ore di ricevimento gli studenti saranno aiutati a superare eventuali difficoltà.

Orario di ricevimento

Consulta il sito web di Monica Idà

Consulta il sito web di Patrizio Frosini